Ejemplos

Para el muestreo de una señal \(x(t) = 5. sin(2π 2500t)\)

  • La frecuencia máxima es \(f_{max} = 2500 Hz\)
  • Utilizando una \(F_m = 10000 Hz\) se obtienen muestras validas para representar a \(x(t)\) ya que es mayor que el doble que \(f_{max}\), es decir, \(F_m > 2 \cdot f_{max} = 5000 Hz\) cumpliendo así el criterio de Nyquist, lo que evita el aliasing y permite representar correctamente a \(x(t)\)
  • Para una frecuencia de muestreo \( F_m = 200 \ll 2 \cdot 2500 = 5000 \) → submuestreo.
    La señal de 2500 Hz va a sufrir aliasing.

    El vector de muestras podría “parecer” tener la misma forma que otra señal de menor frecuencia (por aliasing), por ejemplo 100 Hz. Sí, las muestras pueden coincidir con las de otra señal, pero no son válidas para reconstruir la señal original.

Se desea aplicar el algoritmo FFT, a una señal de 100 s de duración. Para ello se genera \(x[n]\) con un \(\Delta t = 0.5 s\), y una dimensión \(N = 512\) elementos en los vectores. Indicar las opciones correctas

  • El \( N = 512\) dado es el tamaño que se quiere usar para la FFT \(N_{FFT}\), es decir, el número de puntos de la transformada de Fourier
  • Por qué \(N = 512\)?
    • Potencia de 2: FFT se calcula más rápido si el número de puntos es una potencia de 2 (128, 256, 512, 1024, etc.)
      Esto es un estandar en muchas aplicaciones.
    • La resolución en frecuencia de la FFT se calcula como: \[ \Delta F = \frac{f_s}{N_\text{FFT}} \] Donde \( f_s = \frac{1}{\Delta t} = 2 \text{ Hz} \). En el enunciado dicen que: \[ \Delta F = \frac{1}{512} \text{ Hz} \] Esto nos indica que se eligió \(N_\text{FFT} = 512\) para lograr exactamente esa resolución.
  • Cantidad de ceros a agregar

    • El tamaño original \(N_{original}\) es: \[ N_{original} = \frac{T}{\Delta t} \] \[ N_{original} = \frac{100}{0.5} = 200 \]
    • Dado que \(N_{original} < N_{FFT}\), se deben agregar ceros a la señal para que el tamaño de la señal sea \(N_{FFT}\).
      El número de ceros a agregar es: \[ N_{ceros} = N_{FFT} - N_{original} \] \[ N_{ceros} = 512 - 200 = 312 \] Si aplicamos el zero-padding padding nos queda \(312 - 1 = 311\) ceros.
    • Cuando generás el vector de tiempo en MATLAB, NumPy o similares, hay dos formas típicas:
      1. Incluyendo el punto final:
        \[ t = [0,\, 0.5,\, 1.0,\, \ldots,\, 100.0] \]
        En este caso hay:
        \[ N = \frac{T}{\Delta t} + 1 = 201 \, \text{muestras.} \]
      2. Excluyendo el punto final:
        \[ t = [0,\, 0.5,\, 1.0,\, \ldots,\, 99.5] \]
        En este caso hay:
        \[ N = \frac{T}{\Delta t} = 200 \, \text{muestras.} \]
      La mayoría de las implementaciones de FFT y generación de señales usan la segunda forma (es decir, no incluyen el último punto). Pero si tu ejercicio o software considera el punto final, entonces serían 201 muestras.
  • Máxima velocidad de oscilaciones

    La frecuencia de Nyquist es: \[ F_N = \frac{1}{2 \Delta t} \] \[ F_N = \frac{1}{2 \cdot 0.5} = 1 Hz \] Por tanto decimos que la máxima velocidad de oscilaciones, se produce para la armónica de la frecuencia \(F = 1 Hz\).